Question

已知雙曲=1，過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線（斜率存在）交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，PQ的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則的值為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：依題意，不妨設(shè)過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線的斜率為1，利用雙曲線的第二定義可求得可求得|PQ|，繼而可求得PQ的垂直平分線方程，令x=0可求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，從而使問(wèn)題解決．
解答：解：∵雙曲線的方程為-=1，
∴其右焦點(diǎn)F（5，0），不妨設(shè)過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線的斜率為1，
依題意，直線PQ的方程為：y=x-5．
由得：7x²+90x-369=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁，x₂為方程7x²+90x-369=0的兩根，
∴x₁+x₂=-，y₁+y₂=（x₁-5）+（x₂-5）=x₁+x₂-10=-，
∴線段PQ的中點(diǎn)N（-，-），
∴PQ的垂直平分線方程為y+=-（x+），
令y=0得：x=-．又右焦點(diǎn)F（5，0），
∴|MF|=5+=．①
設(shè)點(diǎn)P在其準(zhǔn)線上的射影為P′，點(diǎn)Q在其準(zhǔn)線上的射影為Q′，
∵雙曲線的一條漸近線為y=x，其斜率k=，直線PQ的方程為：y=x-5，其斜率k′=1，
∵k′＜k，
∴直線PQ與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)在左支上，另一個(gè)在右支上，不妨設(shè)點(diǎn)P在左支，點(diǎn)Q在右支，
則由雙曲線的第二定義得：==e==，
∴|PF|=x₁-×=x₁-3，
同理可得|QF|=3-x₂；
∴|PQ|=|QF|-|PF|
=3-x₂-（x₁-3）
=6-（x₁+x₂）
=6-×（-）
=．②
∴==．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的第二定義的應(yīng)用，考查直線與圓錐曲線的相交問(wèn)題，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用與直線方程的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．