Question

已知數列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n≥1）
（1）設b_n=a_n-1（n=1，2，3…），求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用a_n+1=2a_n-1，可得a_n+1-1=2（a_n-1），即可證明數列{b_n}是等比數列；
（2）求出數列{b_n}的通項，即可求數列{a_n}的通項公式．

解答：（1）證明：∵a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1）
∵b_n=a_n-1，∴b_n+1=2b_n，
∵a₁=3，∴b₁=a₁-1=2
∴數列{b_n}是以2為首項，2為公比的等比數列；
（2）解：由（1）知，b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=b_n+1=2ⁿ+1．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列通項的確定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．