Question

已知是定義在 上的奇函數(shù)，且，當(dāng),時(shí)，有成立.

（Ⅰ）判斷在 上的單調(diào)性，并加以證明；

（Ⅱ）若對(duì)所有的恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

    解：（Ⅰ）任取x₁, x₂[－1, 1]，且x₁＜x₂，則－x₂[－1, 1]. 因?yàn)?i>f(x)為奇函數(shù).

            所以f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)+f(－x₂)=·(x₁－x₂),

            由已知得＞0，x₁－x₂＜0，

            所以f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂).

            所以f(x)在[－1, 1]上單調(diào)遞增.

        （Ⅱ）因?yàn)?i>f(1)=1, f(x)在[－1, 1]上單調(diào)遞增，

             所以在[－1, 1]上，f(x)≤1.

             問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m²－2am+1≥1，

             即m²－2am≥0，對(duì)a[－1, 1]恒成立.

             下面來(lái)求m的取值范圍.

             設(shè)g(a)=－2ma+m²≥0.

             ①若m=0，則g(a)=0，對(duì)a[－1, 1]恒成立。

②若m≠0，則g(a)為a的一次函數(shù)，

若g(a)≥0，對(duì)a[－1, 1]恒成立，必須g(－1)≥0，且g(1)≥0，

所以m≤－2或m≥2.

所以m的取值范圍是m=0或|m|≥2.