Question

設(shè)｛a_n｝是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為S_n，并且對所有自然數(shù)n，a_n與2的等差中項等于S_n與2的等比中項.

（Ⅰ）寫出數(shù)列｛a_n｝的前三項；

（Ⅱ）求數(shù)列｛a_n｝的通項公式（寫出推證過程）；

（Ⅲ）令b_n=（n∈N^*），求（b₁+b₂+…+b_n－n）

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）由題意，an＞0 令n=1時，      S1=a1 解得a1=2，令n=2時有 S2=a1+a2 解得a2=6，令n=3時有 S3=a1+a2+a3  解得a3=10 故該數(shù)列的前三項為2、6、10. （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）猜想數(shù)列｛an｝有通項公式an=4n－2，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列｛an｝的通項公式是an=4n－2 （n∈N*） 1°當(dāng)n=1時，因為4×1－2＝2，又在（Ⅰ）中已求得a1=2，所以上述結(jié)論正確.  2°假設(shè)n=k時，結(jié)論正確，即有ak=4k－2 由題意有 得ak=4k－2，代入上式得2k=，解得Sk=2k2 由題意有    Sk+1=Sk+ak+1 得Sk=2k2代入得（）2=2（ak+1+2k2） 整理ak+12－4ak+1+4－16k2=0 由于ak+1＞0，解得：ak+1=2+4k 所以ak+1=2+4k=4（k+1）－2  這就是說n=k+1時，上述結(jié)論成立. 根據(jù)1°，2°上述結(jié)論對所有自然數(shù)n成立. 解法二：由題意有，（n∈N*） 整理得Sn=（an+2）2 由此得Sn+1=（an+1+2）2 所以an+1=Sn+1－Sn=［（an+1+2）2－（an+2）2］ 整理得（an+1+an）（an+1－an－4）=0 由題意知an+1+an≠0，所以an+1－an=4 即數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，其中a1=2，公差d=4， 所以an=a1＋（n－1）d=2+4（n－1） 即通項公式an=4n－2. （Ⅲ）令cn=bn－1， 則 b1+b2+…+bn－n=c1+c2+…+cn = 所以=1.