Question

12．在正三棱錐S-ABC內(nèi)任取一點P，使得V_P-ABC＜$\frac{1}{2}{V_{S-ABC}}$的概率是$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 如圖所示，O是正△ABC的中心，分別取棱SA，SB，SC的中點D，E，F(xiàn)，則在△DEF及其內(nèi)部任取一點P，則V_P-ABC=$\frac{1}{2}$V_S-ABC，即可得解．

解答 解：如圖所示，O是正△ABC的中心，分別取棱SA，SB，SC的中點D，E，F(xiàn)，
則在△DEF及其內(nèi)部任取一點P，
則V_P-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC×$\frac{1}{2}$SO=$\frac{1}{2}$V_S-ABC，
則V_P-ABC＞$\frac{1}{2}$V_S-ABC的點P位于小三棱錐V_S-EDF內(nèi)，
則對應(yīng)的概率P=（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$，
因此使得使得V_P-ABC＜$\frac{1}{2}$V_S-ABC的概率是1-$\frac{{V}_{S-DEF}}{{V}_{S-ABC}}$=$\frac{7}{8}$，
故答案為：$\frac{7}{8}$．

點評 本題主要考查幾何概型的概率計算，求出對應(yīng)的體積關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)比例關(guān)系，得到面積之比是相似比的平方，體積之比是相似比的立方，屬于中檔題．