Question

若函數(shù)f(x)=

2x

2x+1

+sinx在區(qū)間[-k，k]（k＞0）上的值域?yàn)閇m，n]，則m+n=

1

．

Answer 1

分析：本題要求的是函數(shù)最大值與最小值的和，由函數(shù)的解析式，可通過(guò)研究函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)探究解題的思路，故可先求出f（-x），再與函數(shù)f(x)=

2x

2x+1

+sinx進(jìn)行比較，總結(jié)規(guī)律，再由本題中所求的m+n的值是一個(gè)定值，采用特殊值法求出答案

解答：解：因?yàn)?span id="gce0u00" class="MathJye">f(-x)=

2-x

2-x+1

+sin(-x)=

1

1+2x

-sinx
對(duì)比f(x)=

2x

2x+1

+sinx得f（x）+f（-x）=1   ①
又本題中f(x)=

2x

2x+1

+sinx在區(qū)間[-k，k]（k＞0）上的值域?yàn)閇m，n]，即無(wú)論k取什么樣的正實(shí)數(shù)都應(yīng)有最大值與最小值的和是一個(gè)確定的值
故可令k=1，由于函數(shù)f(x)=

2x

2x+1

+sinx在區(qū)間[-k，k]（k＞0）上是一個(gè)增函數(shù)，故m+n=f（k）+f（-k）
由①知，m+n=f（k）+f（-k）=1
故答案為1

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)比較隱蔽的函數(shù)性成立的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵有二，一是意識(shí)到m+n是一個(gè)定值，再就是根據(jù)所給區(qū)間[-k，k]（k＞0）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，聯(lián)想到研究f（x）+f（-x）的值，這是本題解題的重點(diǎn)，難點(diǎn)是領(lǐng)會(huì)到m+n是一個(gè)定值，本題考查了推理判斷的能力，比較抽象，題詞后要注意領(lǐng)會(huì)本題做題中的經(jīng)驗(yàn)技巧．