Question

已知函數(shù)f(x)在(－1,1)上有定義，當且僅當0<x<1時f(x)<0，且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝f，試證明：
(1)f(x)為奇函數(shù)；
(2)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減．

Answer 1

證明：(1)由f(x)＋f(y)＝f，令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0，
令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0.
∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)為奇函數(shù)．
(2)先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減．
令0<x₁<x₂<1，
則f(x₂)－f(x₁)＝f(x₂)＋f(－x₁)
＝f，
∵0<x₁<x₂<1，∴x₂－x₁>0,1－x₁x₂>0，
∴>0，
又∵(x₂－x₁)－(1－x₂x₁)＝(x₂－1)(x₁＋1)<0，
∴x₂－x₁<1－x₂x₁，
∴0<<1，由題意知f<0，
即f(x₂)<f(x₁)．
∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)＝0，
∴f(x)在(－1,1)上為減函數(shù)．

解析