Question

11．在平面直角坐標(biāo)系XOY中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+3cosα}\\{y=1+3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$
（1）求C的普通方程和l的傾斜角；
（2）設(shè)點(diǎn)M（0，2），l與C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可求C的普通方程和l的傾斜角；
（2）利用參數(shù)的幾何意義，即可求|MN|．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+3cosα}\\{y=1+3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），普通方程（x-2）²+（y-1）²=9…（2分）
．直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=$\sqrt{2}$，∴y=x+2
∴l(xiāng)的傾斜角α=$\frac{π}{4}$…（5分）
（2）l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入曲線C，整理可得${t}^{2}-\sqrt{2}t-4=0$，
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=$\sqrt{2}$，∴|MN|=$\frac{1}{2}$|t₁+t₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．