Question

已知橢圓與雙曲線

y2

4

-

x2

12

=1的焦點(diǎn)相同，且它們的離心率之和等于

14

5

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（1，1）作一條弦AB，使該弦被點(diǎn)M平分，求弦AB所在直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出橢圓的焦點(diǎn)和離心率，進(jìn)而得到雙曲線的離心率和焦點(diǎn)，再由橢圓的a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)出弦AB的端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，運(yùn)用作差，結(jié)合平方差公式和斜率公式，由點(diǎn)斜式方程即可得到直線AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）雙曲線

y2

4

-

x2

12

=1的焦點(diǎn)為（0，4），（0，-4），
離心率為

4

2

=2，
則橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
且離心率e=

c

a

=

14

5

-2=

4

5

，
由于c=4，則a=5，b=

a2-b2

=3，
則橢圓方程為

y2

25

+

x2

9

=1；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，

y12

25

+

x12

9

=1，

y22

25

+

x22

9

=1，
兩式相減可得，

(y1-y2)(y1+y2)

25

+

(x1-x2)(x1+x2)

9

=0，
即有k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

25

9

，
則直線AB所在方程為y-1=-

25

9

（x-1），
由于M在橢圓內(nèi)，則弦AB存在．
則所求直線AB的方程為25x+9y-34=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．