Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，側棱PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是PC中點，G為AC上一動點．
（1）求證：BD⊥FG；
（2）在線段AC上是否存在一點G使FG∥平面PBD，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）只需證明BD⊥平面PAC即可；
（2）連結PE，根據(jù)中位線定理即可得出當G為CE中點時有FG∥PE，故FG∥平面PBD．

解答 （1）證明：∵PA⊥面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
又∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面APC，∵FG?平面PAC，
∴BD⊥FG．
（2）解：當G為EC中點，即$AG=\frac{3}{4}AC$時，F(xiàn)G∥平面PBD． 
理由如下：連結PE，由F為PC中點，G為EC中點，知FG∥PE
而FG?平面PBD，PB?平面PBD，故FG∥平面PBD．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判斷，屬于基礎題．