已知f(x)=ex-ax(e=2.718…)
(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;
(Ⅲ) A(xl,yl),B(x2,y2)是f(x)的圖象上任意兩點(diǎn),且x1<x2,若總存在xo∈R,使得f′,求證:xo>xl
【答案】分析:(I)由f(x)=ex-ax,知f′(x)=ex-a,再由a的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論,能求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(II)由f(x)在區(qū)間(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),知a>0,且,由此能求出a的取值范圍.
(Ⅲ)f′(x)=等價(jià)于,等式兩邊同時(shí)除以,得,設(shè)t=x2-x1,構(gòu)造函數(shù)g(t)=.由此能夠證明x>x1
解答:解:(I)∵f(x)=ex-ax,
∴f′(x)=ex-a,令f′(x)=ex-a>0,
①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)=ex-a>0在x∈R上恒成立,
所以f(x)在R上單調(diào)遞增.
②當(dāng)a>0時(shí),∵f′(x)=ex-a>0,∴ex-a>0,解得x>lna,
∴f(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減,在(lna,+∞)單調(diào)遞增.
(II)∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),
∴由(Ⅰ)知a>0,且
解得e<a<
故a的取值范圍是(e,).
(Ⅲ)證明:f′(x)=
?
?,
等式兩邊同時(shí)除以,得,
設(shè)t=x2-x1,則t>0,
構(gòu)造函數(shù)g(t)=
=在t>1時(shí)恒成立,
所以g(t)在t>1時(shí)恒成立,
所以g(t)>g(1)=e-1>1,
所以,故x>x1
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的增區(qū)間的求法,考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,考查不等式的證明.綜合性強(qiáng),難度大,具有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高.
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1
2
,+∞)
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已知f(x)=ex-ax(e=2.718…)
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;
(Ⅲ) A(xl,yl),B(x2,y2)是f(x)的圖象上任意兩點(diǎn),且x1<x2,若總存在xo∈R,使得f′(xo)=
y1-y2x1-x2
,求證:xo>xl

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已知f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)求證:ex>x+1(x≠0).

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