Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²+bx．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y=2x-1，求a，b的值；
（2）若2a+b+1=0，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程可得：f′（1）=2，f（1）=2×1-1=1=a+b，聯(lián)立解得即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），通過(guò)對(duì)

1

2a

與1的大小關(guān)系即可得出．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

+2ax+b，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y=2x-1，
∴f′（1）=2，f（1）=2×1-1=1=a+b，
聯(lián)立解得a=0，b=1．
（2）∵2a+b+1=0，
∴b=-1-2a，
∴f′(x)=

1

x

+2ax-1-2a=

2ax2-(1+2a)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

．（x＞0）．
①當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

1-x

x

，則函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
②當(dāng)a≠0時(shí)，若

1

2a

＞1，則由f′（x）＞0，
解得x＞

1

2a

或0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
由f′（x）＜0，解得1＜x＜

1

2a

，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
若a＜0，則2ax-1＜0，則函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
若0＜

1

2a

＜1，則由f′（x）＞0，
解得0＜x＜

1

2a

或x＞1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
由f′（x）＜0，解得

1

2a

＜x＜1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
若

1

2a

=1，此時(shí)f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、幾何意義及其切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于難題．