Question

【題目】定義函數(shù)，數(shù)列滿足，.

（1）若，求及；

（2）若且數(shù)列為周期函數(shù)，且最小正周期，求的值；

（3）是否存在，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，理由見解析

【解析】

（1）對于分別取n＝1，2，an+1＝f（an），n∈N*．去掉絕對值符號即可得出；

（2）由已知可得，分三種情況討論即可求值；

（3）假設(shè)存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等比數(shù)列，分類討論當(dāng)及當(dāng)和時(shí)，分別利用遞推關(guān)系及等比數(shù)列的定義，得出a1的取值范圍．

（1），

∴a2＝f（a1）＝f（﹣30）＝，

a3＝f（a2）＝f（）＝．

（2）由已知可得，

由題意數(shù)列為周期函數(shù)，且最小正周期，

則當(dāng)時(shí)，a2＝f（a1）＝；a3＝f（a2）＝f（）＝，

得到（舍）；

當(dāng)時(shí)，a2＝f（a1）＝；a3＝f（a2）＝f（）＝，

得到（舍）；

當(dāng)時(shí)，a2＝f（a1）＝；

a3＝f（a2）＝f（ f（a1））＝，

令a3＝a1，則

則a1＝

綜上得到；

（3）假設(shè)存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等比數(shù)列．

①當(dāng)時(shí)，a2＝f（a1）＝；a3＝f（a2）＝，

則公比為，∴a2＝，則，則滿足題意；

②當(dāng)a1時(shí)，則a2＝f（a1）＝，則必存在k使得，

若，由①知；

若，∴∴，則，，滿足，滿足公比為

綜上可知：a1的取值范圍為 [﹣2，+∞）．