【題目】已知, .
(Ⅰ)求函數(shù)圖象恒過的定點坐標;
(Ⅱ)若恒成立,求的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的條件下,證明: 存在唯一的極小值點,且.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)見解析
【解析】試題分析:
(Ⅰ)因為要使參數(shù)對函數(shù)值不發(fā)生影響,所以必須保證,據此可得函數(shù)的圖象恒過點.
(Ⅱ)原問題等價于恒成立.構造函數(shù),分類討論有:
①若時, 不能恒成立.
②若時, 在時為極小值點, ,滿足題意時只需.討論可得要使函數(shù)成立,只有在時成立.
(Ⅲ)結合(Ⅱ)的結論有,構造函數(shù),結合函數(shù)的性質可得一定有2個零點,分別為的一個極大值點和一個極小值點,則函數(shù)在區(qū)間上存在一個極值點,所以最小極值點在內.據此整理計算可得.
試題解析:
(Ⅰ)因為要使參數(shù)對函數(shù)值不發(fā)生影響,所以必須保證,
此時,所以函數(shù)的圖象恒過點.
(Ⅱ)依題意得: 恒成立,∴恒成立.
構造函數(shù),
則恒過, ,
①若時, ,∴在上遞增,
∴不能恒成立.
②若時, ,∴.
∵時, ,函數(shù)單調遞減;
時, ,函數(shù)單調遞增,
∴在時為極小值點, ,
∴要使恒成立,只需.
設,則函數(shù)恒過,
,
, ,函數(shù)單調遞增;
, ,函數(shù)單調遞減,
∴在取得極大值0,
∴要使函數(shù)成立,只有在時成立.
(Ⅲ),設
,令,
∴在單調遞減,在單調遞增,
在處取得極小值
可得一定有2個零點,分別為的一個極大值點和一個極小值點
設為函數(shù)的極小值點,則,∴, ,
因為,因為,
所以在區(qū)間上存在一個極值點,所以最小極值點在內.
∵函數(shù)的極小值點的橫坐標,
∴函數(shù)的極小值,∴.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E、F分別是AB、BC的中點,證明A1、C1、F、E四點共面,并求直線CD1與平面A1C1FE所成的角的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點, , 是直線上任意一點,以為焦點的橢圓過點,記橢圓離心率關于的函數(shù)為,那么下列結論正確的是
A. 與一一對應 B. 函數(shù)是增函數(shù)
C. 函數(shù)無最小值,有最大值 D. 函數(shù)有最小值,無最大值
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調性;
(2)當時,記函數(shù)的極小值為,若恒成立,求滿足條件的最小整數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標原點,一個焦點坐標是,離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過作直線交橢圓于兩點, 是橢圓的另一個焦點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足: , , .
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設數(shù)列的前項和為,且滿足,試確定的值,使得數(shù)列為等差數(shù)列;
(3)將數(shù)列中的部分項按原來順序構成新數(shù)列,且,求證:存在無數(shù)個滿足條件的無窮等比數(shù)列.
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