已知函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有3個交點，交點橫坐標的最大值為α，則
cosα
sinα+sin3α
-
1+α2
4α
=
0
0
．
分析：由函數(shù)圖象進行觀察，得交點橫坐標取最大值的位置為直線y=kx與f（x）=|sinx|在（π，2π）上的圖象相切，切點A的橫坐標．由此結合導數(shù)的幾何意義，得k=-cosα=
-sinα
α
，從而得到α=
sinα
cosα
．再用二倍角三角函數(shù)公式，對原式進行化簡整理，即可得到所求．
解答：解：函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有3個交點時，
交點橫坐標取最大值的位置為直線y=kx與f（x）=|sinx|在（π，2π）上
的圖象相切，切點A的橫坐標．
∴A的坐標為（α，-sinα）
由直線y=kx與f（x）=|sinx|=-sinx圖象相切，
求出f'（x）=（-sinx）'=-cosx，得k=-cosα=
-sinα
α

∴α=
sinα
cosα

∵
cosα
sinα+sin3α
=
cosα
sinα+(sin2αcosα+cos2αsinα)

=
cosα
sinα+2sinαcos2α+(2cos 2α-1)sinα
=
cosα
4sinαcos2α

∴
cosα
sinα+sin3α
=
1
4sinαcos α
=
cos2α+sin2α
4sinαcos α

又∵
1+α2
4α
=
1+(
sinα
cosα
)2
4•
sinα
cosα
=
cos2α+sin2α
4sinαcos α

∴
cosα
sinα+sin3α
-
1+α2
4α
=
cos2α+sin2α
4sinαcos α
-
cos2α+sin2α
4sinαcos α
=0
故答案為：0
點評：本題給出正弦曲線與直線y=kx的圖象相切，求切點橫坐標并化簡三角函數(shù)式的值，著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質，導數(shù)的幾何意義等知識，考查了函數(shù)與方程的思想解題，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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