(本小題滿分14分)已知的圖像在點
處的切線與直線
平行.
⑴ 求,
滿足的關(guān)系式;
⑵ 若上恒成立,求
的取值范圍;
⑶ 證明:(
)
(1);(2)
的取值范圍是
;(3)見解析。
【解析】
試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),利用圖象在點(1,f(1))處的切線與直線y=2x+1平行,可得f′(1)=a-b=2,即可求a,b滿足的關(guān)系式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)-2lnx=
-2lnx,x∈[1,+∞)則根據(jù)g(1)=0,g′(x),比較對應(yīng)方程根的大小,進行分類討論,即可求得a的取值范圍;
(1),根據(jù)題意
,即
………3分
(2)由(1)知,,………4分
令,
則,
=
………5分
①當(dāng)時,
,
若,則
,
在
為減函數(shù),存在
,
即在
上不恒成立.
………6分
②時,
,當(dāng)
時,
,
在
增函數(shù),又
,
∴,∴
恒成立.………7分
綜上所述,所求的取值范圍是
…………8分
(3)由(2)知當(dāng)時,
在
上恒成立.取
得
令,
得
,
即 ……10分
∴ ………11分
上式中令n=1,2,3,…,n,并注意到:
然后n個不等式相加得到 ………14分
考點:本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查恒成立問題,考查不等式的證明。屬于中檔試題。
點評:解決該試題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)函數(shù),構(gòu)造新函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性解題,這是解決一般不等式恒成立問題的常用的方法,也是比較重要的方法。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分14分)設(shè)橢圓C1的方程為(a>b>0),曲線C2的方程為y=
,且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點P。(1)試用a表示點P的坐標(biāo);(2)設(shè)A、B是橢圓C1的兩個焦點,當(dāng)a變化時,求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江西省撫州市教研室高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷(A) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知=2,點(
)在函數(shù)
的圖像上,其中
=
.
(1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
(2)設(shè),求
及數(shù)列{
}的通項公式;
(3)記,求數(shù)列{
}的前n項和
,并證明
.
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