Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E為PD上一點(diǎn)，PE=2ED．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD為斜邊的直角三角形，從而有PA⊥AD，再結(jié)合PA⊥CD，AD、CD 相交于點(diǎn)D，可得PA⊥平面ABCD；
（II）過E作EG∥PA 交AD于G，連接BD交AC于O，過G作GH∥OD，交AC于H，連接EH．利用三垂線定理結(jié)合正方形ABCD的對角線互相垂直，可證出∠EHG為二面角D-AC-E的平面角．分別在△PAB中和△AOD中，求出EH=，GH=，在Rt△EHG中利用三角函數(shù)的定義，得到tan∠EHG==．最后由同角三角函數(shù)的關(guān)系，計(jì)算得cos∠EHG=．
（III）以AB，AD，PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．分別給出點(diǎn)A、B、C、P、E的坐標(biāo)，從而得出=（1，1，0），=（0，， ），利用向量數(shù)量積為零的方法，列方程組可算出平面AEC的一個(gè)法向量為=（-1，1，-2 ）．假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC，則=+=（-λ，1-λ，λ），且有?=0．所以?=λ+1-λ-2λ=0，解之得λ=，所以存在PC的中點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC．
解答：解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=，
∴PA²+AD²=PD²，可得△PAD是以PD為斜邊的直角三角形
∴PA⊥AD---（2分）
又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于點(diǎn)D，
∴PA⊥平面ABCD-------（4分）
（Ⅱ）過E作EG∥PA 交AD于G，
∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
∵△PAB中，PE=2ED
∴AG=2GD，EG=PA=，------（5分）
連接BD交AC于O，過G作GH∥OD，交AC于H，連接EH．
∵OD⊥AC，GH∥OD
∴GH⊥AC
∵EG⊥平面ABCD，HG是斜線EH在平面ABCD內(nèi)的射影，
∴EH⊥AC，可得∠EHG為二面角D-AC-E的平面角．-----（6分）
∴Rt△EGH中，HG=OD=BD=，可得tan∠EHG==．
由同角三角函數(shù)的關(guān)系，得cos∠EHG==．
∴二面角D-AC-E的平面角的余弦值為-------（8分）
（Ⅲ）以AB，AD，PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，，），
=（1，1，0），=（0，， ）---（9分）
設(shè)平面AEC的法向量=（x，y，z），根據(jù)數(shù)量積為零，可得
，即：，令y=1，得=（-1，1，-2 ）-------------（10分）
假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)F，且=λ，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC，則?=0．
又∵=+=（0，1，0）+（-λ，-λ，λ）=（-λ，1-λ，λ），
∴?=λ+1-λ-2λ=0，∴λ=，
所以存在PC的中點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC．----------------（13分）
點(diǎn)評：本題給出一個(gè)特殊的棱錐，通過證明線面垂直和求二面角的大小，著重考查了用空間向量求平面間的夾角、直線與平面平行的判定與性質(zhì)和直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，屬于中檔題．