Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax²-bx，
（1）當(dāng)a=b=時，求f（x）的最大值；
（2）令F（x）=f（x）+ax²+bx+，（0＜x≤3），其圖象上任意一點P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=0，b=-1，方程2mf（x）=x²有唯一實數(shù)解，求正數(shù)m的值。

Answer 1

解：（1）依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞），
當(dāng)，
，
令f′（x）=0， 解得x=1，（∵x＞0），
因為g（x）=0有唯一解，所以，
當(dāng)時，，此時f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時，，此時f（x）單調(diào)遞減，
所以f（x）的極大值為，此即為最大值。
（2），
則有上恒成立，
所以，
當(dāng)取得最大值，
所以a≥；
（3）因為方程有唯一實數(shù)解，
所以有唯一實數(shù)解，
設(shè)，
則，
令，
因為，
當(dāng)上單調(diào)遞減；
當(dāng)上單調(diào)遞增；
當(dāng)，
則，
所以，
因為m＞0，
所以，（*）
設(shè)函數(shù)，
因為當(dāng)x＞0時，h（x）是增函數(shù)，
所以h（x）=0至多有一解，
因為h（1）=0，
所以方程（*）的解為，
解得。