Question

已知函數(shù)f（x）=x+

2

x

+1-a1nx（a＞0）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)a=1，求f（x）在區(qū)間[1，e²]上的值域．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論，即可確定函數(shù)的單調(diào)性．
（2）由（I）所涉及的單調(diào)性來求在區(qū)間[1，e²]上的單調(diào)性，確定出函數(shù)的最值，即可求出函數(shù)的值域．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x+

2

x

+1-a1nx，a＞0
∴f′（x）=1-

2

x2

-

a

x

=

x2-ax-2

x2

，x＞0
令y=x²-ax-2（x＞0）
△=a²+8＞0恒成立，即y=0有兩個(gè)不等根

a± a2+8

2

，
由x²-ax-2＞0，得x＞

a+ a2+8

2

，由x²-ax-2＜0，得 0＜x＜

a- a2+8

2

綜上，函數(shù)f（x）在（0，

a- a2+8

2

）上是減函數(shù)，在（

a+ a2+8

2

，+∞）上是增函數(shù)．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，由（1）知f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)，
故函數(shù)在[1，2]是奇函數(shù)，在[2，e²]上是增函數(shù)
又f（1）=4，f（2）=4-ln2，f（e²）=e²+

2

e2

-1＞4
∴f（x）在區(qū)間[1，e²]上值域是[4-ln2，e²+

2

e2

-1]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及值域，比較復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)性，一般用導(dǎo)數(shù)來研究，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程不等式綜合問題解決，研究值域時(shí)一定要先確定函數(shù)的單調(diào)性才能求解．