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已知函數f（x）=x+
2x
+1-a1nx（a＞0）．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設a=1，求f（x）在區(qū)間[1，e2]上的值域．
分析：（1）求出函數的導數，對參數的取值范圍進行討論，即可確定函數的單調性．
（2）由（I）所涉及的單調性來求在區(qū)間[1，e2]上的單調性，確定出函數的最值，即可求出函數的值域．
解答：解：（1）∵函數f（x）=x+
2
x
+1-a1nx，a＞0
∴f′（x）=1-
2
x2
-
a
x
=
x2-ax-2
x2
，x＞0
令y=x2-ax-2（x＞0）
△=a2+8＞0恒成立，即y=0有兩個不等根
a±
a2+8
2
，
由x2-ax-2＞0，得x＞
a+
a2+8
2
，由x2-ax-2＜0，得 0＜x＜
a-
a2+8
2

綜上，函數f（x）在（0，
a-
a2+8
2
）上是減函數，在（
a+
a2+8
2
，+∞）上是增函數．
（2）當a=1時，由（1）知f（x）在（1，2）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數，
故函數在[1，2]是奇函數，在[2，e2]上是增函數
又f（1）=4，f（2）=4-ln2，f（e2）=e2+
2
e2
-1＞4
∴f（x）在區(qū)間[1，e2]上值域是[4-ln2，e2+
2
e2
-1]
點評：本題主要考查函數的單調性及值域，比較復雜的函數的單調性，一般用導數來研究，將其轉化為函數方程不等式綜合問題解決，研究值域時一定要先確定函數的單調性才能求解．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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