Question

如下圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬20 m，要求通行車輛限高5 m，隧道全長2.5 km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓．

(1)若最大拱高h為6 m，則隧道設(shè)計的拱寬l是多少？

(2)若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，則應如何設(shè)計拱高h和拱寬l？

(已知：橢圓＋＝1的面積公式為S＝πab，柱體體積為底面積乘以高．)

(3)為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5 m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l＝30 m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價與梯形頂部單位面積鋼板造價相同且為定值，試確定M、N的位置以及h的值，使總造價最少．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如下圖建立直角坐標系，則點P(10，2)在橢圓上， 　　令橢圓方程為＋＝1．將b＝h－3＝3與點P坐標代入橢圓方程，得a＝，此時＝2a＝，因此隧道的拱寬約為m． 　　(2)要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，由柱體的體積公式可知：只需半橢圓的面積最小即可． 　　由橢圓方程＋＝1，得＋＝1．因為＋≥，即ab≥40， 　　所以半橢圓面積S＝≥． 　　當S取最小值時，有＝＝，得a＝10，b＝． 　　此時l＝2a＝20，h＝b＋3＝＋3 　　故當拱高為(＋3)m、拱寬為20m時，隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小 　　(3)答：，總造價最�。� 　　根據(jù)題意設(shè) 　　要使總造價最低，只要梯形的兩腰長與上底長之和最短即可，令這個和為，則， 　　的幾何意義是點(x，0)到點(0，0)和點(15，2)的距離和的兩倍，