(08年山東卷理)(本小題滿分12分)
如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,,E,F分別是BC, PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:AE⊥PD;
(Ⅱ)若H為PD上的動點(diǎn),EH與平面PAD所成最大角的正切值為,求二面角E―AF―C的余弦值.
【解析】(Ⅰ)證明:由四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,可得△ABC為正三角形.
因為E為BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC.
又BC∥AD,因此AE⊥AD.
因為PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.
而PA平面PAD,AD平面PAD 且PA∩AD=A,
所以AE⊥平面PAD,又PD平面PAD.
所以 AE⊥PD.
(Ⅱ)解:設(shè)AB=2,H為PD上任意一點(diǎn),連接AH,EH.
由(Ⅰ)知AE⊥平面PAD,
則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中,AE=,
所以 當(dāng)AH最短時,∠EHA最大,
即 當(dāng)AH⊥PD時,∠EHA最大.
此時tan∠EHA=
因此AH=.又AD=2,所以∠ADH=45°,
所以 PA=2.
解法一:因為PA⊥平面ABCD,PA平面PAC,
所以平面PAC⊥平面ABCD.
過E作EO⊥AC于O,則EO⊥平面PAC,
過O作OS⊥AF于S,連接ES,則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角,
在Rt△AOE中,EO=AE?sin30°=,AO=AE?cos30°=,
又F是PC的中點(diǎn),在Rt△ASO中,SO=AO?sin45°=,
又
在Rt△ESO中,cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值為
解法二:由(Ⅰ)知AE,AD,AP兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,又E、F分別為BC、PC的中點(diǎn),所以
E、F分別為BC、PC的中點(diǎn),所以
A(0,0,0),B(,-1,0),C(C,1,0),
D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),F(xiàn)(),
所以
設(shè)平面AEF的一法向量為
則
因此
取
因為 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,
所以 BD⊥平面AFC,
故 為平面AFC的一法向量.
又 =(-),
所以 cos<m,
因為二面角E-AF-C為銳角,
所以所求二面角的余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(7)(08年山東卷理)在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動中,有編號為1,2,3,…,18的18名火炬手.若從中任選3人,則選出的火炬手的編號能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為
(A) (B)
(C) 。―)
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(A) (B)
(C) 。―)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(08年山東卷理)右圖是根據(jù)《山東統(tǒng)計年整2007》中的資料作成的1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的莖葉圖.圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字,右邊的數(shù)字表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的個位數(shù)字,從圖中可以得到1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的平均數(shù)為
(A)304.6 (B)303.6 (C)302.6 (D)301.6
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