Question

南充高中組織了一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，獎(jiǎng)品為肥皂或洗衣服．新老校區(qū)共36名教師參加，其中

3

4

是新校區(qū)的老師，其余是老校區(qū)的老師．在新校區(qū)的參加者中有

1

3

獲得一塊肥皂的獎(jiǎng)勵(lì)，在老校區(qū)的參加者中有

2

3

獲得一袋洗衣粉的獎(jiǎng)勵(lì)，其余人沒(méi)有獲獎(jiǎng)．
（I）在參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的教師中隨機(jī)采訪3人，求恰有1人獲得肥皂且獲得洗衣粉的教師少于2人的概率；
（II）在老校區(qū)參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的教師中隨機(jī)采訪3人，設(shè)其中獲得洗衣粉的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）恰有1人獲得肥皂且獲得洗衣粉的教師少于2人包括兩種情況，一是采訪的3人中，1人肥皂，0人洗衣粉；一是采訪該團(tuán)3人中，1人肥皂，1人洗衣粉，這兩種情況是互斥的，得到結(jié)果．
（II）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，寫出變量的概率，得到分布列和期望值．

解答：解：（I）恰有1人獲得肥皂且獲得洗衣粉的教師少于2人包括兩種情況，
一是采訪的3人中，1人肥皂，0人洗衣粉；
一是采訪該團(tuán)3人中，1人肥皂，1人洗衣粉，這兩種情況是互斥的，
事件A₁為“采訪的3人中，1人肥皂，0人洗衣粉”，
事件A₂為“采訪該團(tuán)3人中，1人肥皂，1人洗衣粉”．
P（B）=P（A₁）+P（A₂）=

C 1 9 C 2 21

C 3 36

+

C 1 9 C 1 6 C 1 21

C 3 36

=

9

34

+

27

170

=

36

85

…（6分）
（II）ξ的可能取值為0，1，2，3
P(ξ=0)=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

，
P(ξ=1)=

C 1 6 C 2 3

C 3 9

=

3

14

P(ξ=2)=

C 2 6 C 1 3

C 3 9

=

15

28

，
P(ξ=3)=

C 3 6

C 3 9

=

15

21

，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 84	3 14	15 28	5 21

∴Eξ=0×

1

84

+1×

3

14

+2×

15

28

+3×

5

21

=2，…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是看出變量對(duì)應(yīng)的事件，本題在新課標(biāo)中是一種高考卷的題目類型．