已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
(其中a>0)上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)如果當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(Ⅲ)求證.
n
k=1
[lnk+ln(k+1)]>
n2-n+1
n+1
(n∈N*)
分析:(Ⅰ)因?yàn)?span id="3xldzxn" class="MathJye">f(x)=
1+lnx
x
,x>0,則f′(x)=-
lnx
x
,利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
(其中a>0)上存在極值,能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(Ⅱ)不等式f(x)≥
k
x+1
,即為
(x+1)(1+lnx)
x
≥k
,構(gòu)造函數(shù)g(x)=
(x+1)(1+lnx)
x
,利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:f(x)>
2
x+1
恒成立,即lnx≥
x-1
x+1
=1-
2
x+1
>1-
2
x
,令x=n(n+1),則ln[n(n+1)]>1-
2
n(n+1)
,由此能夠證明
n
k=1
[lnk+ln(k+1)]>
n2-n+1
n+1
(n∈N*)
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)?span id="pdvpljn" class="MathJye">f(x)=
1+lnx
x
,x>0,
則f′(x)=
-lnx
x2
…1分
當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值.…2分
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
(其中a>0)上存在極值,
所以
a<1
a+
1
2
>1
,解得
1
2
<a<1
.…4分
(Ⅱ)不等式f(x)≥
k
x+1
,
即為
(x+1)(1+lnx)
x
≥k
,記g(x)=
(x+1)(1+lnx)
x
,
所以g′(x)=
[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+lnx)
x2
=
x-lnx
x2
,…6分
令h(x)=x-lnx,則h′(x)=1-
1
x
,∵x≥1,∴h'(x)≥0.
∴h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴[h(x)]min=h(1)=1>0,從而g'(x)>0
故g(x)在[1,+∞)上也單調(diào)遞增,
∴[g(x)]min=g(1)=2,所以k≤2…8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:f(x)>
2
x+1
恒成立,即lnx≥
x-1
x+1
=1-
2
x+1
>1-
2
x

令x=n(n+1),則ln[n(n+1)]>1-
2
n(n+1)
,…10分
所以 ln(1×2)>1-
2
1×2
,ln(2×3)>1-
2
2×3

ln(3×4)>1-
2
3×4
,…,ln[n(n+1)]>1-
2
n(n+1)
,
疊加得:
n
k=1
[lnk+ln(k+1)]>
n-2(1-
1
n+1
)>n-2+
1
n+1
=
n2-n+1
n+1
…13分.
點(diǎn)評(píng):本題考查極值的應(yīng)用,應(yīng)用滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,不等式的證明.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意構(gòu)造法和分類討論法的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個(gè)函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時(shí)滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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