Question

設(shè)f(x)=2(log2x)2+2alog2

1

x

+b，已知x=

1

2

時，f（x）有最小值-8．
（1）求a與b的值；
（2）在（1）的條件下，求f（x）＞0的解集A；
（3）設(shè)集合B=[t-

1

2

，t+

1

2

]，且A∩B=∅，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令y=f(x)=2(log2x)2-2alog2x+b，t=log₂x，y=2t²-2at+b，由x=

1

2

，即t=-1時，f（x）有最小值-8，得二次函數(shù)的對稱軸為t=

a

2

=-1，得a=-2，由此能求出a與b的值．
（2）由a與b的值分別為-2，-6，得f(x)=2(log2x)2+4log2x-6，由此能求出f（x）＞0的解集A．
（3）集合B=[t-

1

2

，t+

1

2

]，而A∩B=∅，得t+

1

2

≤0，或

t+ 1 2 ≤2 t- 1 2 ≥ 1 8

，由此能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答：（本小題滿分13分）
解：（1）令y=f(x)=2(log2x)2-2alog2x+b，
t=log₂x，y=2t²-2at+b，
由已知x=

1

2

，即t=-1時，f（x）有最小值-8，
得二次函數(shù)的對稱軸為t=

a

2

=-1，得a=-2，
ymin=2×(-1)2-2×(-2)×(-1)+b=-8，得b=-6；
即a與b的值分別為-2，-6；
（2）由a與b的值分別為-2，-6，
得f(x)=2(log2x)2+4log2x-6，
即2(log2x)2+4log2x-6＞0，
得log₂x＞1，或log₂x＜-3，
即x＞2，或0＜x＜

1

8

，
得集合A=(0，

1

8

)∪(2，+∞)；
（3）集合B=[t-

1

2

，t+

1

2

]，而A∩B=∅，
得t+

1

2

≤0，或

t+ 1 2 ≤2 t- 1 2 ≥ 1 8

，
解得t≤-

1

2

，或

5

8

≤t≤

3

2

，
即實數(shù)t的取值范圍為t≤-

1

2

，或

5

8

≤t≤

3

2

．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．