Question

已知（1+3x）ⁿ的展開式中，末三項的二項式系數(shù)的和等于121，求展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

【答案】分析：利用二項式系數(shù)為C_n^r，列出方程求出n值，利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，利用展開式中最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時大于它后面的系數(shù)求出展開式中系數(shù)最大的項．
解答：解：∵末三項的二項式系數(shù)分別為C_n^n-2，C_n^n-1，C_nⁿ
∴C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ=121
∴C_n²+C_n¹+C_n=121即n²+n-240=0
∴n=15或n=-16（舍）
∴T_r+1=C₁₅^r（3x）^r=C₁₅^r3^rx^r
設(shè)第r+1項與第r項的系數(shù)分別為t_r+1，t_r
令t_r+1=C₁₅^r3^r，t_r=C₁₅^r-13^r-1
∴t_r+1≥t_r則可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴當(dāng)r取小于12的自然數(shù)時，都有t_r＜t_r+1當(dāng)r=12時，t_r+1=t_r
∴展開式中系數(shù)最大的項為T₁₂=C₁₅¹¹3¹¹x¹¹和T₁₃=C₁₅¹²3¹²x¹²
點評：本題考查二項展開式中的系數(shù)最大的項的求法：利用最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時大于它后面的系數(shù)來求．