Question

（2013•廣元二模）已知圓O：x²+y²=1，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條直線l：y=kx+b（b＞0）與圓O相切并與橢圓

x2

2

+y2=1交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（1）設(shè)b=f（k），求f（k）的表達(dá)式；
（2）若

OA

•

OB

=

2

3

，求直線l的方程；
（3）若

OA

•

OB

=m(

2

3

≤m≤

3

4

)，求三角形OAB面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)y=kx+b（b＞0）與圓x²+y²=1相切，可得

|b|

1+k2

=1，即可求f（k）的表達(dá)式；
（2）直線與橢圓方程聯(lián)立，

y=kx+b x2 2 +y2=1

，利用韋達(dá)定理及

OA

•

OB

=

2

3

，即可求得直線l的方程；
（3）確定

1

2

≤k2≤1，利用弦長(zhǎng)公式，求|AB|，從而可求△OAB面積的取值范圍．

解答：解：（1）∵y=kx+b（b＞0）與圓x²+y²=1相切，
∴

|b|

1+k2

=1，即b²=k²+1（k≠0），
∴b=

k2+1

…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由

y=kx+b x2 2 +y2=1

，消去y得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又△=8k²＞0（∵k≠0），所以x1+x2=-

4kb

2k2+1

，x1x2=

2b2-2

2k2+1

．…（6分）
則

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

k2+1

2k2+1

．
由

OA

•

OB

=

2

3

，所以k²=1．
∴b²=2．∵b＞0，∴b=

2

，
∴l：y=x+

2

，y=-x+

2

．…（9分）
（3）由（2）知：

k2+1

2k2+1

=m．
∵

2

3

≤m≤

3

4

，∴

2

3

≤

k2+1

2k2+1

≤

3

4

，∴

1

2

≤k2≤1，
由弦長(zhǎng)公式得|AB|=

k2+1

•

2 2k2

2k2+1

，所以S=

1

2

|AB|=

2k2(k2+1)

2k2+1

，
設(shè)2k²+1=t，∴2≤t≤3，S=

2

2

1- 1 t2

∴

6

4

≤S≤

2

3

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角形的面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．