Question

某工廠擬建一座平面圖為矩形，面積為200m²，高度一定的三段污水處理池（如圖）．由于受地形限制，其長、寬都不能超過16m，如果池的外壁的建造費單價為400元/m，池中兩道隔墻的建造費單價為248元/m，池底的建造費單價為80元/m²，試設(shè)計水池的長x和寬y（x＞y），使總造價最低，并求出這個最低造價．

Answer 1

分析：設(shè)水池的長為x，則寬為

200

x

，求出池外的造價；求出中間兩條隔墻的造價；求出池底的造價；將三個造價加起來即為總造價；據(jù)長、寬都大于0小于等于16求出定義域．求出導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)在定義域上的符號，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

解答：解：設(shè)污水池長為x m，則寬為

200

x

 m，設(shè)總價為Q（x），
則Q（x）=400（2x+2×

200

x

）+248×2×

200

x

+80×200=800（x+

324

x

）+16000
由題設(shè)條件

0＜x≤16 0＜ 200 x ≤16

∴12.5≤x≤16，即函數(shù)定義域為[12.5，16]
求導(dǎo)函數(shù)得：y′=800(1-

324

x2

)
當(dāng)x∈[12.5，16]時，y'＜0；
故函數(shù)y=f（x）在[12.5，16]上是減函數(shù)．（10分）
∴當(dāng)x=16時，y取得最小值，
此時ymin=800(16+

324

16

)+16000=45000，

200

x

=

200

16

=12.5
綜上，當(dāng)污水處理池的長為16m，寬為12.5m時，總造價最低，最低為45000元．

點評：本題考查的重點是函數(shù)模型的構(gòu)建，考查將實際問題中的最值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)最值，考查利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，屬于中檔題．