Question

定義在R上的函數f（x）滿足對任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒為0，
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）試判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（3）若x＞0時f（x）為增函數，求滿足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，令x=y=1、-1，可求f（1）和f（-1）的值；
（2）令y=-1，再利用偶函數的定義，可得結論；
（3）將不等式，利用函數的單調性與奇偶性轉化為具體不等式，即可求得結論．

解答：解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；
令x=y=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1），∴f（-1）=0；
（2）f（x）是偶函數，證明如下
令y=-1，∵f（xy）=f（x）+f（y），∴f（-x）=f（x）+f（-1），
∵f（-1）=0，∴f（-x）=f（x），∵f（x）不恒為0，∴f（x）是偶函數；
（3）∵f（x+1）-f（2-x）≤0，∴f（x+1）≤f（2-x）
∵f（x）是偶函數，∴f（|x+1|）≤f（|2-x|）
∵x＞0時，f（x）為增函數，
∴|x+1|≤|2-x|
∴x≤

1

2

∴滿足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合為{x|x≤

1

2

}．

點評：本題考查函數的單調性與奇偶性，考查賦值法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．