定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2011且當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞2011，設(shè)M、N分別為f（x）在[-2012，2012]的最大值與最小值，則M+N的值為（　　）
分析：將f（x+y）=f（x）+f（y）-2011變形為f（x+y）-f（y）=f（x）-2011，令x＞0，結(jié)合“當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞2011”分析可得，f（x）在[-2011，2011]上為增函數(shù)，則有M=f（2011），N=f（-2011）；在f（x+y）=f（x）+f（y）-2011中，令x=y=0可得，f（0）=2011，再令x=2011，y=-2011可得，f（2011）+f（-2011）=4022，又由M=f（2011），N=f（-2011），代換可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，f（x+y）=f（x）+f（y）-2011⇒f（x+y）-f（y）=f（x）-2011，
當(dāng)x＞0時(shí)，有（x+y）-y＞0，此時(shí)f（x+y）-f（y）=f（x）-2011＞0，
則f（x）在[-2011，2011]上為增函數(shù)，
故M=f（2011），N=f（-2011）；
對于f（x+y）=f（x）+f（y）-2011，
令x=y=0可得，f（0）=2f（0）-2011，即f（0）=2011，
再令x=2011，y=-2011可得，f（0）=f（2011）+f（-2011）-2011，
即f（2011）+f（-2011）=f（0）+2011=4022，
又由M=f（2011），N=f（-2011），
則M+N=4022，
故選A．
點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，解此類題目一般用特殊值法，解本題關(guān)鍵要判斷出f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得到M、N的值．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小正周期是π，且當(dāng)x∈[0，
π
2
]時(shí)，f（x）=sinx，則f（
5π
3
）的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

20、已知定義在R上的函數(shù)f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函數(shù)F（x）=f（x）-3x2是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在x=-1處取極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論f（x）在區(qū)間[-3，3]上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
，當(dāng)x∈（0，4）時(shí)，f（x）=x2-1，則f（2010）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值與最小值的差為4，相鄰兩個最低點(diǎn)之間距離為π，函數(shù)y=sin（2x+
π
3
）圖象所有對稱中心都在f（x）圖象的對稱軸上．
（1）求f（x）的表達(dá)式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函數(shù)f（x）一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是（　　）

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