Question

已知函數(shù)，且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，又，g（1）=0．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）和滿足復(fù)合命題p且q為真命題？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意f（x）與g（x）互為反函數(shù)，
由g（1）=0得f（0）=1∴，
得∴（3分）
故f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)∴
即f（x）的值域?yàn)椋?，1]．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）是[0，+∞）上的減函數(shù)，g（x）是（0，1]上的減函數(shù)，
又∴（9分）
故解得
因此，存在實(shí)數(shù)m，使得命題p且q為真命題，且m的取值范圍為：．（12分）
分析：（I）依題意函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱得：f（x）與g（x）互為反函數(shù)，利用反函數(shù)圖象間的對(duì)稱性列出關(guān)于a，b方程求出它們的值，最后利用f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)即可求得f（x）的值域；
（II）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，由（Ⅰ）知f（x）是[0，+∞）上的減函數(shù)，g（x）是（0，1]上的減函數(shù)，欲使得復(fù)合命題p且q為真命題，必須p且q都為真命題，據(jù)此列出不等關(guān)系，解之，如果不出現(xiàn)矛盾則存在，否則不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反函數(shù)、復(fù)合命題的真假函數(shù)的值域及存在性問題．求反函數(shù)，一般應(yīng)分以下步驟：（1）由已知解析式y(tǒng)=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交換x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函數(shù)的定義域（一般可通過求原函數(shù)的值域的方法求反函數(shù)的定義域）．