Question

設函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax+

b

x

，函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點也在函數(shù)g（x）的圖象上，且在此點有公切線．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）證明：當0＜x≤1時，f（x）≥g（x）；當x＞1時，f（x）＜g（x）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出兩個函數(shù)的導函數(shù)，再利用函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點也在函數(shù)g（x）的圖象上，且在此點處f（x）與g（x）有公切線對應的等式即可求a、b的值；
（Ⅱ）先設F（x）=f（x）-g（x），再求出其導函數(shù)，得出其在（0，+∞）上是減函數(shù)且F（1）=0，即可得f（x）與g（x）的大�。�

解答：解：（I）由題意：f′(x)=

1

x

，g′(x)=a-

b

x2

，（2分）
∴由題意可得：

a+b=0 a-b=1

解得

a= 1 2 b=- 1 2

．（5分）
（Ⅱ）由（I）可知g（x）=

1

2

（x-

1

x

），
令F（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

（x-

1

x

），
∵F′(x)=

1

x

-

1

2

(1+

1

x2

)=-

1

2

(1+

1

x2

-

2

x

)=-

1

2

(1-

1

x

)2≤0，（8分）
∴F（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，而F（1）=0，（9分）
∴當x∈（0，1）時，F(xiàn)（x）＞0，有f（x）＞g（x）；
當x∈（1，+∞）時，F(xiàn)（x）＜0，有f（x）＜g（x）；
當x=1時，F(xiàn)（x）=0，有f（x）=g（x）．
故有當0＜x≤1時，f（x）≥g（x）；當x＞1時，f（x）＜g（x）．（12分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及分類討論思想的運用，主要考查導數(shù)的應用，屬于中檔題．