Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為線段BC的中點，AB=1，AD=2，AA₁=

2

．
（Ⅰ）證明：DE⊥平面A₁AE；
（Ⅱ）求點A到平面A₁ED的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,解題方法,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）欲證DE⊥平面A₁AE，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證AE⊥DE，A₁A⊥DE，即可；
（Ⅱ）利用第一問的結果，推出平面AA₁E⊥平面A₁ED，作出垂線，求解即可．

解答： 證明：（Ⅰ）長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為線段BC的中點，AB=1，AD=2，AA1=

2

，在△AED中，AE=DE=

2

，AD=2，
∴AE⊥DE．
∵A₁A⊥平面ABCD，
∴A₁A⊥DE，
∴DE⊥平面A₁AE．
（Ⅱ）由DE⊥平面A₁AE，∴平面AA₁E⊥平面A₁ED，
過A作AM⊥A₁E，交A₁E于M，由平面與平面垂直的性質定理可知，AM⊥平面A₁ED，
AM就是A到平面A₁ED的距離，在△AA₁E中，AE=

2

，AA1=

2

，AE⊥AA₁，
∴AM=1．
點A到平面A₁ED的距離為：1．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．