Question

已知拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，2），它們?cè)趚軸上有共同焦點(diǎn)，橢圓和雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求這三條曲線(xiàn)的方程；
（2）已知?jiǎng)又本�(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（3，0），交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，是否存在垂直于x軸的直線(xiàn)l′被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出L′的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，把點(diǎn)M（1，2）代入拋物線(xiàn)的方程，求得拋物線(xiàn)的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，再把點(diǎn)M（1，2），代入橢圓和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得結(jié)果；
（2）設(shè)AP的中點(diǎn)為C，l'的方程為：x=a，以AP為直徑的圓交l'于D，E兩點(diǎn)，DE中點(diǎn)為H，根據(jù)垂徑定理即可得到方程=（a-2）x₁-a²+3a，探討該式何時(shí)是定值．
解答：解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=2px（p＞0），將M（1，2）代入方程得p=2，
∴拋物線(xiàn)方程為：y²=4x；由題意知橢圓、雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為F（-1，0）₁，F(xiàn)₂（1，0），∴c=1；
對(duì)于橢圓，2a=|MF₁|+|MF₂|=；∴a=1+
∴
∴b²=a²-c²=2+2
∴橢圓方程為：=1
對(duì)于雙曲線(xiàn)，2a'=||MF₁|-|MF₂||=2-2
∴a'=-1
∴a'²=3-2
∴b'²=c'²-a'²=2-2
∴雙曲線(xiàn)方程為：=1

（2）設(shè)AP的中點(diǎn)為C，l'的方程為：x=a，以AP為直徑的圓交l'于D，E兩點(diǎn)，DE中點(diǎn)為H．
令
∴|DC|=
|
∴|DH|²=|DC|²-|CH|²=
=（a-2）x₁-a²+3a
當(dāng)a=2時(shí)，|DH|²=-4+6=2為定值；
∴|DE|=2|DH|=2為定值
此時(shí)l'的方程為：x=2
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．本題考查了橢圓與雙曲線(xiàn)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程即簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．其中問(wèn)題（2）是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，