Question

設(shè)f（x）=e^x-1．當(dāng)a＞ln2-1且x＞0時(shí)，證明：f（x）＞x²-2ax．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：欲證f（x）＞x²-2ax，即證e^x-x²+2ax-1＞0．構(gòu)造函數(shù)u（x）=e^x-x²+2ax-1，則u′（x）=e^x-2x+2a．令h（x）=e^x-2x+2a，則h′（x）=e^x-2．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)a＞ln 2-1且x＞0時(shí)，f（x）＞x²-2ax．

解答： 證明：欲證f（x）＞x²-2ax，即e^x-1＞x²-2ax，
即證e^x-x²+2ax-1＞0．
可令u（x）=e^x-x²+2ax-1，則u′（x）=e^x-2x+2a．
令h（x）=e^x-2x+2a，則h′（x）=e^x-2．
當(dāng)x∈（-∞，ln 2）時(shí)，h′（x）＜0，
函數(shù)h（x）在（-∞，ln 2]上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（ln 2，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在[ln 2，+∞）上單調(diào)遞增．
所以h（x）的最小值為h（ln 2）=e^ln2-2ln 2+2a=2-2ln 2+2a．
因?yàn)閍＞ln 2-1，
所以h（ln 2）＞2-2ln 2+2（ln 2-1）=0，即h（ln 2）＞0．
所以u(píng)′（x）=h（x）＞0，即u（x）在R上為增函數(shù)．
故u（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．所以u(píng)（x）＞u（0）．
而u（0）=0，所以u(píng)（x）=e^x-x²+2ax-1＞0．
故當(dāng)a＞ln 2-1且x＞0時(shí)，f（x）＞x²-2ax．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．是中檔題．