已知：函數(shù).（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…〉.

(1) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

(2) 當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)的極值；

(3)若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是否總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)寫(xiě)出判斷過(guò)程.

 

 

【答案】

解析：

（1）

所以，當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1

故所求切線方程為……………………..2分

（2）當(dāng)時(shí)恒成立，函數(shù)定義域?yàn)镽

又單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增

所以函數(shù)的極大值為，極大值為…………………..5分

（3）①當(dāng)時(shí)

法一：因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以其最小值為，而函數(shù)在的最大值為1，所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)……………..6分

法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602333212091123/SYS201205260235360271680249_DA.files/image016.png">

而當(dāng)時(shí)，

又，，即當(dāng)時(shí)成立

所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)……………..6分

②當(dāng)時(shí)，

法一：仿上可得函數(shù)在上時(shí)，上述結(jié)論仍然成立……………..7分

法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602333212091123/SYS201205260235360271680249_DA.files/image023.png">，由（2）知

而當(dāng)時(shí)

又，，即當(dāng)時(shí)成立……………..7分

而當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)遞減，其最小值為

所以，下面判斷的關(guān)系，即判斷的關(guān)系，

令

單調(diào)遞增

使得

上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增……………………………..10分

所以

即也即

所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)……………..12分

 

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=
1
2
x2-mln
1+2x
+mx-2m，其中m＜0．
（Ⅰ）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）已知當(dāng)m≤-
g
2
（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，在x∈（-
1
2
，
g-1
2
]至少存在一點(diǎn)x0，使f（x0）＞e+1成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當(dāng)m=-1時(shí)，對(duì)任意x1，x2∈（0，1），x1≠x2，有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＜
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年浙江省杭州市高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)卷 題型：填空題

給出以下命題，其中正確命題序號(hào)為                    。

a、若函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=f (x-1)的圖像關(guān)于直線x=1 對(duì)稱(chēng)；

b、“”是“”的充分不必要條件；

c、函數(shù)y=的反函數(shù)為其中x>-1；

d、已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若=0，則必為函數(shù)的極值點(diǎn)；

e、某城市現(xiàn)有人口a萬(wàn)人，預(yù)計(jì)人口年平均增長(zhǎng)率為p。那么該城市第十年年初的人口總數(shù)為萬(wàn)人

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

函數(shù)f（x）=
1
2
x2-mln
1+2x
+mx-2m，其中m＜0．
（Ⅰ）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）已知當(dāng)m≤-
g
2
（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，在x∈（-
1
2
，
g-1
2
]至少存在一點(diǎn)x0，使f（x0）＞e+1成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當(dāng)m=-1時(shí)，對(duì)任意x1，x2∈（0，1），x1≠x2，有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＜
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011屆浙江省杭州市西湖高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)卷 題型：填空題

給出以下命題，其中正確命題序號(hào)為                   。
a、若函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)，則函數(shù)y="f" (x-1)的圖像關(guān)于直線x="1" 對(duì)稱(chēng)；
b、“”是“”的充分不必要條件；
c、函數(shù)y=的反函數(shù)為其中x>-1；
d、已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若=0，則必為函數(shù)的極值點(diǎn)；
e、某城市現(xiàn)有人口a萬(wàn)人，預(yù)計(jì)人口年平均增長(zhǎng)率為p。那么該城市第十年年初的人口總數(shù)為萬(wàn)人

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