Question

16．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長都是4，E是BC的中點，點F在側棱CC₁上，且CF=1，求證：EF⊥A₁C．

Answer 1

分析 以A為原點，在平面ABC中作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明EF⊥A₁C．

解答 證明：以A為原點，在平面ABC中作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長都是4，E是BC的中點，點F在側棱CC₁上，且CF=1，
∴A₁（0，0，4），C（0，4，0），E（$\sqrt{3}$，3，0），F(xiàn)（0，4，1），
∴$\overrightarrow{EF}$=（-$\sqrt{3}$，1，1），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，4，-4），
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{{A}_{1}C}$=0+4-4=0，
∴EF⊥A₁C．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．