Question

11．已知函數(shù)f（x）=m（sinx+cosx）+2sinxcosx（m是常數(shù)，x∈R）
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）求證：?m∈R，函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令t=sinx+cosx，則-$\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$，當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=（sinx+cosx）+2sinxcosx=t²+t-1，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）令g（t）=t²+mt-1，（-$\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$），結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=（sinx+cosx）+2sinxcosx
令t=sinx+cosx，則-$\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$，且f（x）=t²+t-1
所以，當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最小值為$-\frac{5}{4}$．--------------------（4分）
（Ⅱ）令t=sinx+cosx，則-$\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$，且f（x）=t²+mt-1
令g（t）=t²+mt-1，（-$\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$）
因?yàn)間（-$\sqrt{2}$）=1-$\sqrt{2}$m，g（$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$m，g（0）=-1，
當(dāng)m=0時(shí)，g（-$\sqrt{2}$）=g（$\sqrt{2}$）=1＞0，m，g（0）=-1＜0，函數(shù)在[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]上有零點(diǎn)；
當(dāng)m＞0時(shí)，g（$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$m＞0，g（0）=-1＜0，函數(shù)在[0，$\sqrt{2}$]上有零點(diǎn)；
當(dāng)m＜0時(shí)，g（-$\sqrt{2}$）=1-$\sqrt{2}$m＞0，g（0）=-1＜0，函數(shù)在[-$\sqrt{2}$，0]上有零點(diǎn)；
綜上，對于?m∈R函數(shù)y=g（t）有零點(diǎn)，即函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)．------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其意義，函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．