Question

已知集合A={(x，y)|y=

4

4+2x-x2

，x∈R}，B={（x，y）|（x-1）²+y²≤a²，a＞0}，是否存在正實(shí)數(shù)a，使得A∩B=A，如果存在求a的范圍？如果不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)A與B的交集等于集合A，得到集合A是集合B的子集，即集合A的所以元素都滿足集合B，所以把集合中的函數(shù)代入集合B中的不等式中，消去y得到關(guān)于x的不等式，然后設(shè)不等式的左邊為一個(gè)函數(shù)T（x），利用換元法設(shè)t=

4+2x-x2

，化簡(jiǎn)后得到（x-1）²等于5-t²，即可得到T與t的二次函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)小于0，得到此二次函數(shù)為開口向下的拋物線，當(dāng)t為頂點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，T的最大值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后讓a大于等于這個(gè)最大值，即可得到關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

解答：解：∵A∩B，∴A⊆B，
將y=

4	4+2x-x2

代入（x-1）²+y²≤a²，
得(x-1)2+

4+2x-x2

≤a2，
設(shè)T(x)=(x-1)2+

4+2x-x2

，
令t=

4+2x-x2

=

5-(x-1)2

∈[0，

5

]，
∴T=5-t2+t=-(t-

1

2

)2+

21

4

，
當(dāng)t=

1

2

時(shí)，Tmax=

21

4

．
依題意得a2≥

21

4

，
∴a≥

21

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握兩集合的包含關(guān)系，掌握不等式恒成立時(shí)所滿足的條件，是一道綜合題．學(xué)生在求函數(shù)最大值時(shí)得到方法是：采用換元的方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到函數(shù)的最大值．