Question

已知函數(shù)f（x）=

2

3

x+

1

2

，h（x）=

x

．
（Ⅰ）設函數(shù)F（x）=f（x）-h（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）設a∈R，解關于x的方程㏒₄[

3

2

f（x-1）-

3

4

]=log₂h（a-x）-log₂h（4-x）；
（Ⅲ）試比較f（100）h（100）-

100

k=1

h(k)與

1

6

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導函數(shù)，利用導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．即可求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）先把原等式轉(zhuǎn)化為關于a和x之間的等量關系，最后利用圖象來求x的值（注意對a的討論）．
（Ⅲ）把f（100）h（100）-

1

6

轉(zhuǎn)化為一新數(shù)列 {a_n}的前100項和，再比較新數(shù)列 {a_n}的每一項和對應h（x）=

x

之間的大小關系，即可比較f（100）h（100）-

100

k=1

h(k)與

1

6

的大�。�

解答：解：（Ⅰ）由F（x）=f（x）-h（x）=

2

3

x+

1

2

-

x

（x≥0）知，
F'（x）=

4 x -3

6 x

，令F'（x）=0，得x=

9

16

．
當x∈（0，

9

16

）時，F(xiàn)'（x）＜0；當x∈（

9

16

，=∞）時，F(xiàn)'（x）＞0．
故x∈（0，

9

16

）時，F(xiàn)（x）是減函數(shù)；
故F（x）x∈（

9

16

，+∞）時，F(xiàn)（x）是增函數(shù)．
F（x）在x=

9

16

處有極小值且F（

9

16

）=

1

8

．

（Ⅱ）原方程可化為log₄（x-1）+log₂ h（4-x）=log₂h（a-x），
即

1

2

log₂（x-1）+log₂

4-x

=log₂

a-x

，?

x-1＞0 4-x＞0 a-x＞0 (x-1)(4-x)=a-x

?

1＜x＜4 x＜a a=-(x-3)2+5

①當1＜a≤4時，原方程有一解x=3-

5-a

；
②當4＜a＜5時，原方程有兩解x=3±

5-a

；
③當a=5時，原方程有一解x=3；
④當a≤1或a＞5時，原方程無解．
 （Ⅲ）設數(shù)列 {a_n}的前n項和為s_n，且s_n=f（n）g（n）-

1

6

從而有a₁=s₁=1．
當2＜k≤100時，a_k=s_k-s_k-1=

4k+3

6

k

-

4k-1

6

k-1

，a_k-

k

=

1

6

[（4k-3）

k

-（4k-1）

k-1

]=

1

6

(4k-3) 2 k-(4k-1)2 (k-1)

(4k-3) k +(4k-1) k-1

=

1

6

1

(4k-3) k +(4k-1) k-1

＞0．
即對任意的2＜k≤100，都有a_k＞

k

．
又因為a₁=s₁=1，
所以a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀＞

1

+

2

+

3

+…+

100

=h（1）+h（2）+…+h（100）
故f（100）h（100）-

100

k=1

h(k)＞

1

6

點評：題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系以及函數(shù)極值的求法和函數(shù)與數(shù)列的綜合應用問題．在解題過程中，用到了分類討論思想和數(shù)形結合思想，是一道綜合性很強的好題．