Question

已知．
（1）當(dāng)時，求證：f（x）在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)；
（2）若y=f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的范圍得到f′（-1）≤0且f′（1）≤0，因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)圖象開口向上，所以導(dǎo)函數(shù)小于0，得到函數(shù)為減函數(shù)；
（2）設(shè)極值點(diǎn)為x∈（-1，1），則f′（x）=0，當(dāng)a＞時，f（x）在（-1，x）內(nèi)是增函數(shù)，f（x）在（x，1）內(nèi)是減函數(shù)．根據(jù)極值點(diǎn)的存在與否得到a的范圍即可．
解答：解：（1）證明：∵f（x）=x³-ax²-3x，
∴f′（x）=2x²-2ax-3．∵|a|≤，∴
又∵二次函數(shù)f′（x）的圖象開口向上，?
∴在（-1，1）內(nèi)f′（x）＜0．故f（x）在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)．
（2）設(shè)極值點(diǎn)為x∈（-1，1），則f′（x）=0，?
當(dāng)a＞時，∵?
∴在（-1，x）內(nèi)f′（x）＞0，在（x，1）內(nèi)f′（x）＜0，?
即f（x）在（-1，x）內(nèi)是增函數(shù)，f（x）在（x，1）內(nèi)是減函數(shù)．?
∴當(dāng)a＞時f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)且是極大值點(diǎn)．?
當(dāng)a＜時，同理可知f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)．
當(dāng)≤a≤時，由（1）知f（x）在（-1，1）內(nèi)沒有極值點(diǎn)．
故所求a的取值范圍是（-∞，）∪（，+∞）．
點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力．