Question

設(shè)F₁、F₂是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為直線x=

3a

2

上一點(diǎn)，△F₂PF₁是底角為30°的等腰三角形，則橢圓E的離心率為

3

4

．

Answer 1

分析：利用△F₂PF₁是底角為30°的等腰三角形，可得|PF₂|=|F₂F₁|，根據(jù)P為直線x=

3a

2

上一點(diǎn)建立方程，由此可求橢圓的離心率．

解答：解：設(shè)x=

3a

2

交x軸于點(diǎn)M，
∵△F₂PF₁是底角為30°的等腰三角形
∴∠PF₂F₁=120°，|PF₂|=|F₂F₁|，且|PF₂|=2|F₂M|
∵P為直線x=

3a

2

上一點(diǎn)，
∴2（

3a

2

-c）=2c，解之得3a=4c
∴橢圓E的離心率為e=

c

a

=

3

4

故答案為：

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題給出與橢圓有關(guān)的等腰三角形，在已知三角形形狀的情況下求橢圓的離心率．著重考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．