Question

已知函數(shù)f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x（x∈R）．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

6

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，直接求函數(shù)f（x）的最小正周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）通過[-

π

6

，

π

6

]求出-

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，即可求出函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)（3分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)（6分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．（7分）
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

6

，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，（8分）
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．（11分）
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

6

]上的最大值為1和最小值為-

1

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，再注意基本函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．