Question

已知F₁，F(xiàn)₂是等軸雙曲線C：x²-y²=1的左、右焦點，點P在C上，∠F₁PF₂=60°，則|PF₁|•|PF₂|等于

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線方程，算出焦距|F₁F₂|=2

2

，△F₁PF₂中利用余弦定理，結合雙曲線的定義列出關于|PF₁|、|PF₂|的方程組，聯(lián)解即可得到|PF₁|•|PF₂|的值．

解答：解：∵雙曲線C的方程為：x²-y²=1，
∴a²=b²=1，得c=

a2+b2

=

2

由此可得F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），焦距|F₁F₂|=2

2

∵∠F₁PF₂=60°，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，即|PF₁|²+|PF₂|²-|PF₁|•|PF₂|=8①
又∵點P在雙曲線C：x²-y²=1上，
∴||PF₁|-|PF₂||=2a=2，平方得|PF₁|²-2|PF₁|•|PF₂|+|PF₂|²=4②
①-②，得|PF₁|•|PF₂|=4
故答案為：4

點評：本題給出等軸雙曲線上一點對兩個焦點的張角等于60度，求兩條焦半徑的積，著重考查了余弦定理和雙曲線的定義、簡單性質等知識，屬于中檔題．