Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

1

2

x²-（a+1）x，a＞0．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）+

1

2

a²+3a的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，注意定義域，討論a＞1，a=1，0＜a＜1函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+

1

2

a²+3a，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a＞1時(shí)，g（1）＞0且g（a）＜0；當(dāng)a=1時(shí)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（a）＞0且g（1）＜0，不等式解的情況，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

a

x

+x-(a+1)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-a)(x-1)

x

（x＞0），
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（0，1）和（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，a）和（1，+∞）上單增，在（a，1）上單減；
（Ⅱ）令g(x)=f(x)+

1

2

a2+3a=alnx+

1

2

x2-(a+1)x+

1

2

a2+3a，
則g'（x）=f'（x），
當(dāng)a＞1時(shí)，g（1）＞0且g（a）＜0，即

1

2

a2+2a-

1

2

＞0，且alna+2a＜0，顯然無解；
當(dāng)a=1時(shí)，g（x）在（0，+∞）上單增，顯然不滿足題意；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（a）＞0且g（1）＜0，即a＞

1

e2

，且-2-

5

＜a＜-2+

5

，
即有

1

e2

＜a＜

5

-2．
綜上，

1

e2

＜a＜

5

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，以及分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．