Question

某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作．規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過(guò)．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成．
（1）求出甲考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
（2）若考生乙每題正確完成的概率都是

2

3

，且每題正確完成與否互不影響．試從至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)操作能力．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為X，則 P(X=k)=

C k 4 C 3-k 2

C 3 6

，k=1，2，3，由此求得考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的概率分布列．
（Ⅱ）設(shè)考生乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)為Y，則Y\～B(3，

2

3

)，求得P（Y≥2）的值、P（X≥2）的值，再根據(jù)P（X≥2）＞P（Y≥2），得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為X，則 P(X=k)=

C k 4 C 3-k 2

C 3 6

，k=1，2，3．
所以考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的概率分布列為：

X	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

∴EX=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．
（Ⅱ）設(shè)考生乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)為Y，則Y\～B(3，

2

3

)，所以P(Y=k)=

C

k 3

(

2

3

)k(

1

3

)3-k，k=0，1，2，3，
P(Y≥2)=

12

27

+

8

27

=

20

27

；又P(X≥2)=

3

5

+

1

5

=

4

5

，且P（X≥2）＞P（Y≥2），
從至少正確完成2題的概率考察，甲通過(guò)的可能性大，因此甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的方法和步驟，屬于中檔題．