Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁B₁B是邊長為2的正方形，點(diǎn)C在平面AA₁B₁B上的射影H恰好為A₁B的中點(diǎn)，且CH=，設(shè)D為CC₁中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：CC₁⊥平面A₁B₁D；
（Ⅱ）求DH與平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：方法一：常規(guī)解法
（I）由已知中，棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁B₁B是邊長為2的正方形，易得CC₁⊥A₁B₁，取A₁B₁中點(diǎn)E，可證出DE⊥CC₁，結(jié)合線面垂直的判定定理可得CC₁⊥平面A₁B₁D；
（II）取AA₁中點(diǎn)F，連CF，作HK⊥CF于K，結(jié)合（I）的結(jié)論，我們可得DH與平面AA₁C₁C所成角為∠HDK，解Rt△CFH與Rt△DHK，即可得到DH與平面AA₁C₁C所成角的正弦值．
方法二：向量法
（I）以H為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的數(shù)量積為0，易得到CC₁⊥A₁D，CC₁⊥B₁D，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理得到CC₁⊥平面A₁B₁D；
（II）求出直線DH的方向向量及平面AA₁C₁C的法向量，代入向量夾角公式，即可求出DH與平面AA₁C₁C所成角的正弦值．
解答：證明：方法一：（Ⅰ）因?yàn)镃C₁∥AA₁且正方形中AA₁⊥A₁B₁，所以CC₁⊥A₁B₁，

取A₁B₁中點(diǎn)E，則HE∥BB₁∥CC₁且，又D為CC₁的中點(diǎn)，
所以，得平行四邊形HEDC，
因此CH∥DE，又CH⊥平面AA₁B₁B，
得CH⊥HE，DE⊥HE，所以DE⊥CC₁∴CC₁⊥平面A₁B₁D（6分）
解：（Ⅱ）取AA₁中點(diǎn)F，連CF，作HK⊥CF于K
因?yàn)镃H∥DE，CF∥A₁D，所以平面CFH∥平面A₁B₁D，由（Ⅰ）得CC₁⊥平面A₁B₁D，
所以CC₁⊥平面CFH，又HK?平面CFH，所以HK⊥CC₁，又HK⊥CF，得HK⊥平面AA₁C₁C，所以DH與平面AA₁C₁C所成角為∠HDK（10分）
在Rt△CFH中，，
在Rt△DHK中，由于DH=2，（14分）

方法二：（向量法）
證明：（Ⅰ）如圖，以H為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，），C₁（），A₁（），B₁（0，，0），
所以，，
∴，，
因此CC₁⊥平面A₁B₁D；（6分）
解：（Ⅱ）設(shè)平面AA₁C₁C的法向量，由于
則，
得，所以（10分）
又，所以（14分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定，其中方法一的關(guān)鍵是熟練掌握空間直線與平面關(guān)系的判定、性質(zhì)及定義，方法二的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角的問題．