Question

設(shè)非零復數(shù)a₁，a₂，a₃，a₄，a₅滿足

a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = a5 a4 a1+a2+a3+a4+a5=4( 1 a1 + 1 a2 + 1 a3 + 1 a4 + 1 a5 )=S

其中S為實數(shù)且|S|≤2．
求證：復數(shù)a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在復平面上所對應(yīng)的點位于同一圓周上．

Answer 1

分析：設(shè)

a2

a1

=

a3

a2

=

a4

a3

=

a5

a4

=q，由題設(shè)條件，得a₁（1+q+q²+q³+q⁴）=

4

a1q4

（1+q+q²+q³+q⁴），故（a12q⁴-4）（1+q+q²+q³+q⁴）=0，所以a1q2=±2，或1+q+q²+q³+q⁴=0．由此進行分類討論，能夠證明復數(shù)a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在復平面上所對應(yīng)的點位于同一圓周上．

解答：證明：設(shè)

a2

a1

=

a3

a2

=

a4

a3

=

a5

a4

=q，
由題設(shè)條件，得a₁（1+q+q²+q³+q⁴）=

4

a1q4

（1+q+q²+q³+q⁴），
∴（a12q⁴-4）（1+q+q²+q³+q⁴）=0，
∴a1q2=±2，或1+q+q²+q³+q⁴=0．
①若a1q2=±2，則±2(

1

q2

+

1

q

+1+q+q2)=S，
∴S=±2[(q+

1

q

)2+(q+

1

q

)-1]=±2[（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

]，
∴由已知條件得（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

∈R，且|（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

|≤1．
令q+

1

q

+

1

2

=h（cosθ+isinθ），則h2(cos2θ+isin2θ)-

5

4

∈R，
∴sin2θ=0．
-1≤h²（cos2θ+isin2θ）-

5

4

≤1，
∴

1

4

≤h2(cos2θ+isin2θ)≤

9

4

，
∴cos2θ＞0，∴θ=kπ，k∈Z．
∴q+

1

q

∈R，再令q=r（cosα+isinα），r＞0．
則q+

1

q

=（r+

1

r

）cosα+i（r-

1

r

）sinα∈R，
∴sinα=0，或r=1．
若sinα=0，則q=±r為實數(shù)，
此時q+

1

q

≥2，或q+

1

q

≤-2．
此時，q+

1

q

+

1

2

≥5，或q+

1

q

+

1

2

≤-

3

2

．
此時，由|（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

|≤1，知q=-1，|a₁|=2．
若r=1，仍有|a₁|=2，故此五點在同一圓上．
②若1+q+q²+q³+q⁴=0，則|q|=1，
此時|a₁|=|a₂|=|a₃|=|a₄|=|a₅|，
故此五點共圓．
綜上，復數(shù)a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在復平面上所對應(yīng)的點位于同一圓周上．

點評：本題考查五點共圓的證明，具體涉及到復數(shù)、三角函數(shù)等知識點的綜合運用，解題時要注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．