Question

6．求與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1共漸近線且焦點在圓x²+y²=100上的雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 求出雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{4}{3}$x，設(shè)出所求雙曲線的方程$\frac{{x}^{2}}{9m}$-$\frac{{y}^{2}}{16m}$=1（m＞0），或$\frac{{x}^{2}}{9m}$-$\frac{{y}^{2}}{16m}$=-1（m＞0），求得雙曲線的焦點，由雙曲線的基本量的關(guān)系，解方程可得m=4，進而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{4}{3}$x，
當焦點在x軸上時，設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9m}$-$\frac{{y}^{2}}{16m}$=1（m＞0），
由焦點在圓x²+y²=100上，可得焦點為（±10，0），
即c=10=$\sqrt{9m+16m}$，解得m=4，
可得雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1；
當焦點在y軸上時，設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9m}$-$\frac{{y}^{2}}{16m}$=-1（m＞0），
由焦點在圓x²+y²=100上，可得焦點為（0，±10），
即c=10=$\sqrt{-9m-16m}$，解得m=-4，
可得雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{64}$-$\frac{{x}^{2}}{36}$=1．
綜上可得，所求雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1或$\frac{{y}^{2}}{64}$-$\frac{{x}^{2}}{36}$=1．

點評 本題考查雙曲線的標準方程的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和焦點坐標，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．