精英家教網(wǎng)已知直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F,且與拋物線相交于A、B兩點.
(1)若|AF|=4,求點A的坐標;
(2)若直線l的傾斜角為45°,求線段AB的長.
分析:(1)由y2=4x,得p=2,其準線方程為x=-1,焦點F(1,0).設A(x1,y1),B(x2,y2).由拋物線的定義可知,|AF|=x1+
p
2
,從而x1=3.由此能得到點A的坐標.
(2)直線l的方程為y=x-1.與拋物線方程聯(lián)立,得
y=x-1
y2=4x
,整理得x2-6x+1=0,其兩根為x1,x2,且x1+x2=6.由拋物線的定義可知線段AB的長.
解答:精英家教網(wǎng)解:由y2=4x,得p=2,其準線方程為x=-1,焦點F(1,0).(2分)
設A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由拋物線的定義可知,|AF|=x1+
p
2
,從而x1=3.
代入y2=4x,解得y1=±2
3

∴點A的坐標為(3,2
3
)或(3,-2
3
).(6分)
(2)直線l的方程為y-0=tan45°(x-1),即y=x-1.
與拋物線方程聯(lián)立,得
y=x-1
y2=4x
,(9分)
消y,整理得x2-6x+1=0,其兩根為x1,x2,且x1+x2=6.
由拋物線的定義可知,|AB|=p+x1+x2=6+2=8.
所以,線段AB的長是8.(12分)
點評:本題考查直線和拋物線的位置關系,解題時要認真審題,合理地進行等價轉化,注意拋物線性質(zhì)的合理運用.
練習冊系列答案
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已知直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F,且與拋物線相交于A、B兩點.
(1)若|AF|=4,求點A的坐標;
(2)設直線l的斜率為k,當線段AB的長等于5時,求k的值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011年湖南省西州部分高中學校高二下學期1月份聯(lián)考數(shù)學文卷 題型:解答題

(12分)已知直線l經(jīng)過拋物線的焦點F,
且與拋物線相交于A、B兩點.
(1)若,求點A的坐標;
(2)若直線l的傾斜角為,求線段AB的長.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011年湖南省校高二下學期1月份聯(lián)考數(shù)學文卷 題型:解答題

(12分)已知直線l經(jīng)過拋物線的焦點F,

且與拋物線相交于AB兩點.

(1)若,求點A的坐標;

(2)若直線l的傾斜角為,求線段AB的長.

 

 

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(14分)

已知直線l經(jīng)過拋物線的焦點F,且與拋物線相交于A、B兩點.

(1)若,求點A的坐標;

(2)若直線l的傾斜角為,求線段AB的長.

 

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