Question

數(shù)列{a_n}中，．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由．我們依次將n=1，2，3，4…代入，可以求出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）觀察（1）的結(jié)論，我們可以推斷出a_n的表達(dá)式，然后由數(shù)學(xué)歸納法的步驟，我們先判斷n=1時(shí)是否成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，公式成立，只要能證明出當(dāng)n=k+1時(shí)，公式成立即可得到公式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴，即a₁=1，
∵，即a₁+a₂=4-a₂-1，∴a₂=1，
∵，即a₁+a₂+a₃=4-a₃-，∴a₃=，
∵，即a₁+a₂+a₃+a₄=4-a₄-，∴a₃=，
（Ⅱ）猜想
證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，此時(shí)結(jié)論成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）結(jié)論成立，即，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，有
∵
∴，
這就是說n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
根據(jù)①和②，可知對(duì)任何n∈N^*時(shí)．
點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法的步驟：①證明n=1時(shí)A式成立②然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，A式成立③證明當(dāng)n=k+1時(shí)，A式也成立④下緒論：A式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立．